Conjecturi

Am mai avut până acum vreo două posturi despre matematică și voi mai scrie despre asta pentru că mă pasionează subiectul. Dar recunosc că nu știu mare lucru și nici nu am timpul sau ambiția să aprofundez. În schimb îmi place să citesc despre paradoxuri, conjecturi, formule și demonstrații elegante și ingenioase și istoriile și legendele din spatele lor. Aș putea spune că mă interesează partea estetică a matematicii.

În matematică, o conjectură este o propoziție care pare adevărată dar care nu a fost demonstrată încă. Cele mai frumoase conjecturi sunt cele din teoria numerelor. Asta pentru că au enunțuri extrem de simple și ușor de înțeles dar nu este indicat să încerci să le demonstrezi pentru că, așa cum ești prevenit peste tot, mulți încearcă să le atace cu cunoștiințe matematice la nivel de liceu și pot pierde oricâtă vreme au la dispoziție fără a avea rezultate. O astfel de conjectură faimoasă este Conjectura Goldbach:

Orice număr întreg par mai mare ca 2 poate fi exprimat ca suma a două numere prime.

Nu sună complicat nu? Până acum nici nu s-a găsit un contraexemplu. Doar că, atât timp cât nu există o demonstrație riguroasă, rămâne Conjectura lui Goldbach și nu Teorema lui Goldbach. Dar cea mai interesantă poveste este cea despre Ultima Teoremă a lui Fermat. Enunțul este următorul:

Pentru n mai mare ca 2, ecuația xⁿ + yⁿ = zⁿ nu are soluții întregi diferite de zero.

Fermat a enunțat teorema în jurul anului 1630. De fapt, după moartea sa, a fost găsită ca o notiță pe marginea exemplarului din Arithmetica de Diophantus (carte scrisă prin anii 200-300). În carte, Diophantus arată cum un pătrat se poate scrie ca sumă de două alte patrate (ecuația pentru n=2) și întreabă cum se poate face asta pentru n=4. Fermat scrie pe marginea cărții că acest lucru este imposibil pentru n=4, mai mult, pentru orice n > 2 și că a găsit o soluție remarcabilă pentru a demonstra asta. După moartea sa, afirmația a ieșit la lumină și o mulțime de matematicieni au încercat să redescopere acea demonstrație remarcabilă. Faptul că enunțul a apărut post mortem, a făcut ca titlul său să devină Ultima Teoremă a lui Fermat în loc de Conjectura lui Fermat. Demonstrația lui Fermat nu a fost găsită decât pentru cazul particular n=4.

După aproximativ 100 de ani, Euler vine cu o demonstrație pentru cazul n = 3, demonstrație care, de fapt, conținea o greșală, reparată ulterior de alți matematicieni. După încă aproximativ 100 de ani, Dirichlet și Lagrange demonstrează cazul n=5. În secolul 19, Academia Franceză de Științe oferă un premiu în bani pentru demonstrație. Ulterior, alte instituții oferă diferite sume de bani primei persoane care construiește o demonstrație. Rezultatul este apariția a mii și mii de demonstrații greșite. Unele cu greșeli evidente, altele cu greșeli subtile, care necesită mult timp pentru a fi infirmate.

Sir Andrew Wiles află enunțul teoremei la vârsta de 10 ani. Încearcă să o demonstreze începând de atunci. După mulți ani, descoperă că pe baza altei conjecturi, Conjectura Taniyama-Shimura (privind curbe eliptice, deci aparent departe de teoria numerelor), se poate construi o demonstrație a Ultimei Teoreme. Rămâne astfel să demonstreze o parte relevantă a conjecturii Taniyama-Shimura, demonstrație la care lucrează ani întregi în secret. Teorema este în sfârșit demonstrată de Wiles în 1993, după mai mult de 300 de ani de la enunțarea ei. Sir Andrew Wiles și-a dedicat mare parte a vieții acestei demonstrații dar efortul i-a fost răsplătit, asigurându-i un loc în istorie.

Cam asta este povestea, pe scurt, a celei mai controversate conjecturi-devenită-teoremă din istoria matematicii.

Paradoxul Monty Hall

Paradoxul Monty Hall poartă numele prezentatorului show-ului de televiziune american Let’s Make a Deal. Emisunea era un concurs și, într-un anumit moment, un participant era pus să aleagă una din trei uși închise. Se știa că în spatele unei uși se ascunde marele premiu, foarte valoros, pe când după celelalte două se ascund premii de consolare, de o valoare mult mai mică. Concurentul alege absolut la întâmplare una din cele trei uși. După ce făcea alegerea, Monty Hall deschidea una din cele două uși care nu au fost alese, îi arăta concurentului un premiu de consolare și îl întreba dacă rămâne la opțiunea sa sau se răzgândește și alege cealaltă ușă rămasă închisă.

Voi ce ați face?

Aflați că dacă ați ales să vă schimbați decizia inițială, v-ați dublat șansele de a câștiga marele premiu.

Culmea că majoritatea oamenilor, după ce au luat o decizie, preferă să rămână cu ea și faptul că șansele se dublează în caz contrar este destul de contraintuitiv. Paradoxul apare dacă ambele evenimente (alegerea ușii, alegerea de a rămâne cu ușa respectivă sau de a o schimba pentru cealaltă ușă închisă) sunt privite ca evenimente independente, greșeală pe care o face majoritatea lumii - Cu ce îmi afectează alegerea inițială faptul că am văzut ce nu am ales? Adevărul este că evenimentele sunt dependente astfel: în cazul în care jucătorul a ales una din ușile care conține un premiu de consolare, prezentatorul nu poate deschide oricare din cele două uși rămase, ci doar ușa care conține celălalt premiu de consolare.

Mai clar, probabilitatea de a nimeri marele premiu este, pentru prima alegere 1/3. Deci 2/3 pentru a alege o ușă greșită. Dacă concurentul spune, indiferent de ce a ales (el nu poate ști ce a ales) ”Vreau să-mi schimb opțiunea”, probabilitățile arată astfel: În primul caz (1/3), schimbându-și opțiunea cu cealaltă ușă închisă concurentul pierde. De menționat că prezentatorul poate să-i deschidă oricare din ușile rămase din moment ce ambele ascund premii de consolare. În al doilea caz (2/3), când s-a ales ușa greșită, prezentatorul poate să deschidă doar o singură ușă din cele două rămase, din moment ce cealaltă ascunde marele premiu. Deci schimbând alegerea, concurentul câștigă automat marele premiu. Asta în 2/3 din cazuri. După cum spuneam, șansele se dublează în momentul în care se renunță la hotărârea inițială.

Așa că aveți grijă ce decizii luați dacă participați la concursuri TV!

Numb3rs

Dacă aș avea mult, mult timp liber la dispoziție, aș încerca să înțeleg matematica. Pe urmă aș încerca să explic imaginea de mai sus.

Noroc că nu am timp